Exercice 8, § 2

Soit $\Sigma$ l’espèce de structure ayant un seul ensemble de base (principal) $A$, dont la structure générique $(V, a, b)$ comporte trois lettres, avec la caractérisation typique

et dont l’axiome est la relation où $R\{V\}$ est l’axiome de l’espèce de structure topologique (IV, p. 5, Exemple 3). Si $A, A'$ sont deux ensembles munis respectivement de structures $(V, a, b), (V', a', b')$, on définit les $\sigma$-morphismes de $A$ dans $A'$ comme les applications $f$ continues (pour $V, V'$) et telles que $f(a) = a'$ et $f(b) = b'$. Montrer qu’en remplaçant $\Sigma$ par une espèce de structure équivalente cette notion de $\sigma$-morphisme peut s’obtenir par le procédé de l’exerc. 2 (IV, p. 29). Montrer

EXERCICES

E IV.31

que pour deux ensembles A, B munis de structures $\mathscr{S}, \mathscr{S}'$ d’espèce $\Sigma$, il existe une structure produit sur $A \times B$, et que l’image directe de cette structure par $pr_1$ (resp. $pr_2$) est $\mathscr{S}$ (resp. $\mathscr{S}'$); \* mais donner un exemple où il n’existe pas de section associée à $pr_1$ et qui soit un $\sigma$-morphisme de A dans $A \times B$ (prendre pour A un espace connexe, pour B un espace discret).*