Bài tập 8, § 2

Cho $\Sigma$ là loài cấu trúc có một tập cơ sở (chính) duy nhất, mà cấu trúc tổng quát (V, $a$, $b$) của nó gồm ba chữ cái, với đặc trưng hóa điển hình

và tiên đề của nó là quan hệ

trong đó $\mathrm{R}\{\mathrm{V}\}$ là tiên đề của loài các cấu trúc tôpô (§ 1, no. 4, Ví dụ 3). Nếu A, A$'$ là hai tập hợp lần lượt được trang bị các cấu trúc (V, $a$, $b$), (V$'$, $a'$, $b'$) của loài $\Sigma$, thì các $\sigma$-cấu xạ của A vào A$'$ được định nghĩa là các ánh xạ liên tục $f: \mathrm{A} \to \mathrm{A}'$ (đối với các tôpô V, V$'$) sao cho $f(a) = a'$ và $f(b) = b'$. Chứng minh rằng bằng cách thay thế $\Sigma$ bởi một loài cấu trúc tương đương, ta có thể thu được khái niệm các $\sigma$-cấu xạ này bằng thủ tục của Bài tập 2. Chứng minh rằng nếu A, B là hai tập hợp được trang bị các cấu trúc S, S$'$ của loài $\Sigma$, thì tồn tại một cấu trúc tích trên $\mathrm{A} \times \mathrm{B}$, và rằng ảnh trực tiếp của cấu trúc này qua $\mathrm{pr}_1$ (tương ứng $\mathrm{pr}_2$) là S (tương ứng S$'$). \* Nhưng hãy cho một ví dụ trong đó không có tiết diện nào của $\mathrm{pr}_1$ là một $\sigma$-cấu xạ của A vào $\mathrm{A} \times \mathrm{B}$ (lấy A liên thông và B rời rạc). \*