Exercice 9, § 2

Soit $\Sigma$ l’espèce de structure de corps. Montrer qu’on définit une notion de $\sigma$-morphisme pour cette espèce de structure en prenant comme morphismes d’un corps K dans un corps K’, d’une part les homomorphismes $f$ de K dans K’ au sens de l’Exemple 2 de IV, p. 12, et en outre l’application $f_0$ de K dans K’ telle que $f_0(0) = 0, f_0(x) = 1$ pour tout $x \neq 0$ dans K. Montrer que, pour cette notion de morphisme, on a les propriétés suivantes: pour tout corps K (de caractéristique quelconque) la structure de corps de K induit une structure de corps (isomorphe à celle de $\mathbf{F}_2$) sur l’ensemble $\{0, 1\}$; en outre si R est la relation d’équivalence dont les classes d’équivalence sont $\{0\}$ et $K^* = K - \{0\}$, il existe une structure quotient (isomorphe à la structure de $\mathbf{F}_2$) de la structure de corps de K par la relation R.