Bài tập 9, § 2

Cho $\Sigma$ là loài các cấu trúc vành chia. Chứng minh rằng một khái niệm về các $\sigma$-đồng cấu đối với loài cấu trúc này có thể được xác định bằng cách lấy các đồng cấu từ một vành chia K vào một vành chia K$'$ làm các đồng cấu $f$ của K vào K$'$ theo nghĩa của Ví dụ 2 của No. 4, cùng với ánh xạ $f_0$ của K vào K$'$ sao cho $f_0(0) = 0$ và $f_0(x) = 1$ với mọi $x \neq 0$ trong K. Chứng minh rằng, với khái niệm về các đồng cấu này, ta có các tính chất sau đây : đối với mọi vành chia K (với đặc số bất kỳ), cấu trúc vành chia của K cảm sinh một cấu trúc vành chia (đẳng cấu với cấu trúc của $\mathbf{F}_2$) trên tập hợp $\{0, 1\}$; và rằng nếu R là quan hệ tương đương mà các lớp tương đương của nó là $\{0\}$ và $\mathrm{K}^* = \mathrm{K} - \{0\}$, tồn tại một cấu trúc thương (đẳng cấu với cấu trúc của $\mathbf{F}_2$) của cấu trúc của K theo quan hệ R. \*