Exercice 3, § 3

Soient $\Sigma$ une espèce de structure, $(A_t)_{t \in I}$ une famille d’ensembles, et pour chaque $t \in I$, soit $\mathscr{S}_t$ une structure d’espèce $\Sigma$ sur $A_t$. Soit $E$ l’ensemble somme de la famille $(A_t)_{t \in I}$, $A_t$ étant considéré comme sous-ensemble de $E$.

On suppose donnée une notion de $\sigma$-morphisme pour l’espèce de structure $\Sigma$, et on définit une $\alpha$-application comme une application $\varphi$ de $E$ dans un $\Sigma$-ensemble $F$, telle que pour tout $t \in I$, la restriction de $\varphi$ à $A_t$ soit un morphisme de $A_t$ dans $F$.

Montrer que s’il existe une solution $(F_E, \varphi_E)$ au problème d’application universelle pour $E$, la structure d’espèce $\Sigma$ sur $F_E$ est structure finale pour la famille $(A_t, \mathscr{S}_t, \varphi_t)_{t \in I}$, $\varphi_t$ désignant la restriction de $\varphi_E$ à $A_t$.

En outre, soit $F$ un ensemble, et pour chaque $t \in I$, soit $f_t$ une application de $A_t$ dans $F$. S’il existe sur $F$ une structure finale d’espèce $\Sigma$ pour la famille $(A_t, \mathscr{S}_t, f_t)_{t \in I}$, on peut écrire $f_t = f \circ \varphi_t$, où $f$ est un morphisme de $F_E$ dans $F$, et la structure de $F$ est l’image directe par $f$ de la structure de $F_E$.

Applications aux cas suivants: \* 1° $\Sigma$ est une espèce de structure algébrique, les morphismes étant les homomorphismes, et les conditions (CU_I) à (CU_{III}) étant vérifiées; il en est ainsi pour les structures de monoïde, de groupe, de module, d’algèbre, etc. Le $\Sigma$-ensemble $F_E$ est appelé produit libre des $A_t$ dans le cas des groupes, somme directe dans le cas des modules, composé direct dans le cas des algèbres. 2° $\Sigma$ est l’espèce de structure de groupe topologique, ou d’espace vectoriel topologique. Les conditions (CU_I) à (CU_{III}) sont alors vérifiées; dans le cas des espaces vectoriels topologiques localement convexes, $F_E$ est appelé somme directe topologique des $A_t$.*