Bài tập 3, § 3

Cho $\Sigma$ là một loài cấu trúc, cho $(\mathrm{A}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$ là một họ các tập hợp, và với mỗi $\iota \in \mathrm{I}$ cho $\mathscr{S}_\iota$ là một cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên $\mathrm{A}_\iota$. Gọi E là tập hợp là tổng của họ $(\mathrm{A}_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$, trong đó mỗi $\mathrm{A}_\iota$ được xem như một tập con của E. Giả sử rằng ta được cho một khái niệm về các $\sigma$-cấu xạ đối với loài $\Sigma$, và định nghĩa một $\alpha$-ánh xạ là một ánh xạ $\varphi$ từ E vào một $\Sigma$-tập hợp F sao cho, với mỗi $\iota \in \mathrm{I}$, hạn chế của $\varphi$ trên $\mathrm{A}_\iota$ là một cấu xạ từ $\mathrm{A}_\iota$ vào F. Chứng minh rằng, nếu tồn tại một nghiệm $(\mathrm{F_E}, \varphi_\mathrm{E})$ của bài toán ánh xạ phổ quát đối với E, thì cấu trúc thuộc loài $\Sigma$ trên $\mathrm{F_E}$ là cấu trúc cuối đối với họ $(\mathrm{A}_\iota, \mathscr{S}_\iota, \varphi_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$, trong đó $\varphi_\iota$ ký hiệu hạn chế của $\varphi_\mathrm{E}$ trên $\mathrm{A}_\iota$.

Hơn nữa, cho F là một tập hợp, và với mỗi $\iota \in \mathrm{I}$ cho $f_\iota$ là một ánh xạ từ $\mathrm{A}_\iota$ vào F. Nếu tồn tại một cấu trúc cuối cùng thuộc loài $\Sigma$ trên F đối với họ $(\mathrm{A}_\iota, \mathrm{B}_\iota, f_\iota)_{\iota \in \mathrm{I}}$, thì ta có thể viết $f_\iota = f \circ \varphi_\iota$, trong đó $f$ là một cấu xạ của $\mathrm{F_E}$ vào F, và cấu trúc trên F là ảnh trực tiếp theo $f$ của cấu trúc trên $\mathrm{F_E}$.

Xét các áp dụng vào những trường hợp sau :

\* (i) $\Sigma$ là một loài các cấu trúc đại số, các cấu xạ là các đồng cấu, và các điều kiện $(\mathrm{CU_I})$ đến $(\mathrm{CU_{III}})$ được thỏa mãn. Điều này đúng đối với các cấu trúc nửa nhóm, cấu trúc nhóm, cấu trúc môđun, cấu trúc đại số, v.v. $\Sigma$-tập hợp $\mathrm{F_E}$ được gọi là tích tự do của các $\mathrm{A}_\iota$ trong trường hợp các nhóm, tổng trực tiếp trong trường hợp các môđun, tích trực tiếp trong trường hợp các đại số.

(ii) $\Sigma$ là loài các cấu trúc nhóm tôpô hoặc loài các cấu trúc không gian vectơ tôpô. Khi đó các điều kiện $(\mathrm{CU_I})$ đến $(\mathrm{CU_{III}})$ được thỏa mãn. Trong trường hợp các không gian vectơ tôpô lồi địa phương, $\mathrm{F_E}$ được gọi là tổng trực tiếp tôpô của các $\mathrm{A}_\iota$. \*