Exercice 1, § 1

Soit $E_0 = \mathbf{Q}_p^\mathbf{N}$ l’espace vectoriel sur le corps $p$-adique $\mathbf{Q}_p$ (TG, III, p. 84, exerc. 23), produit d’une infinité dénombrable de facteurs identiques à $\mathbf{Q}_p$. Soit $P \subset E_0$ l’ensemble $\mathbf{Z}_p^\mathbf{N}$, et soit $E$ le sous-espace vectoriel de $E_0$ engendré par $P$. On considère sur le groupe additif $P$ la topologie compacte produit des topologies des facteurs $\mathbf{Z}_p$, et on désigne par $\mathscr{B}$ le filtre des voisinages de 0 dans $P$ pour cette topologie. Montrer que $\mathscr{B}$ est un système fondamental de voisinages de 0 dans $E$ pour une topologie $\mathscr{T}$ compatible avec la structure de groupe additif de $E$, qui vérifie les axiomes (EVT$_1'$) et (EVT$_{\text{III}}'$), mais non (EVT$_{\text{II}}'$) (prouver que l’homothétie $x \mapsto x/p$ n’est pas continue dans $E$).