Bài tập 1, § 1

Cho $E_0 = \mathbf{Q}_p^\mathbf{N}$ là không gian vectơ trên trường $p$-adic $\mathbf{Q}_p$ (GT, III, § 6, exerc. 23), là tích của một vô hạn đếm được các nhân tử, mỗi nhân tử đều đồng nhất với $\mathbf{Q}_p$. Cho $P \subset E_0$ là tập hợp $\mathbf{Z}_p^\mathbf{N}$, và cho $E$ là không gian con vectơ của $E_0$ sinh bởi $P$. Trên nhóm cộng $P$ ta xét tôpô compact tích của các tôpô của các nhân tử $\mathbf{Z}_p$, và ta ký hiệu bởi $\mathfrak{B}$ lọc các lân cận của 0 trong $P$ đối với tôpô này. Chứng minh rằng $\mathfrak{B}$ là một hệ cơ sở các lân cận của 0 trong $E$ đối với một tôpô $\mathscr{T}$ tương thích với cấu trúc nhóm cộng của $E$, thỏa mãn (EVT'_I) và (EVT'_III) nhưng không thỏa mãn (EVT'_II) (chứng minh rằng phép vị tự $x \mapsto x/p$ không liên tục trong $E$).