Exercice 10, § 1

Soit E un espace vectoriel topologique séparé et complet sur un corps valué non discret K. Soient F un sous-espace vectoriel de E, et $\mathscr{T}$ la topologie sur F, induite par la topologie $\mathscr{T}'$ de E ; soit $\mathscr{B}$ un système fondamental de voisinages fermés et équilibrés de 0 pour $\mathscr{T}$. Soit $F_0$ le sous-espace vectoriel de E, engendré par les adhérences $\overline{V}$ dans E (pour $\mathscr{T}'$) des ensembles $V \in \mathscr{B}$ ; les ensembles $\overline{V}$ forment un système fondamental de voisinages de 0 pour une topologie $\mathscr{T}_0$ sur $F_0$, compatible avec la structure d’espace vectoriel de $F_0$ ; pour cette topologie, $F_0$ est complet, et la topologie induite par $\mathscr{T}_0$ sur F est égale à $\mathscr{T}$.