Bài tập 10, § 1

Cho E là một không gian vectơ tôpô Hausdorff đầy đủ trên một vành chia định giá không rời rạc K. Ký hiệu F là một không gian con vectơ của E, và $\mathscr{T}$ là tôpô trên F cảm sinh bởi tôpô $\mathscr{T}'$ của E; gọi $\mathscr{B}$ là một hệ cơ sở các lân cận đóng, cân bằng của 0 đối với tôpô $\mathscr{T}$. Gọi $F_0$ là không gian con vectơ của E, sinh bởi các bao đóng $\overline{V}$ trong E (đối với $\mathscr{T}'$) của các tập hợp $V \in \mathscr{B}$; các tập hợp $\overline{V}$ tạo thành một hệ cơ sở các lân cận của 0 cho một tôpô $\mathscr{T}_0$ trên $F_0$, tương thích với cấu trúc không gian vectơ của $F_0$; đối với tôpô này, $F_0$ là đầy đủ, và tôpô cảm sinh bởi $\mathscr{T}_0$ trên F là đồng nhất với $\mathscr{T}$.