Exercice 11, § 1

Dans un espace vectoriel topologique E sur un corps topologique non discret K, il existe un système fondamental $\mathscr{B}$ de voisinages fermés de 0, satisfaisant aux conditions (EV_{II}) et (EV_{III}), ainsi qu’aux deux suivantes : (EV_{Ia}) Quel que soit $V \in \mathscr{B}$, il existe $W \in \mathscr{B}$ et un voisinage U de 0 dans K tels que UW $\subset V$. (EV_{Ib}) Quels que soient $x \in E$ et $V \in \mathscr{B}$, il existe $\lambda \neq 0$ dans K tel que $\lambda x \in V$.

Réciproquement, soit E un espace vectoriel sur K et soit $\mathscr{B}$ une base de filtre sur E satisfaisant aux conditions (EV_{Ia}), (EV_{Ib}), (EV_{II}) et (EV_{III}). Montrer qu’il existe une topologie et une seule sur E, compatible avec la structure d’espace vectoriel de E, et pour laquelle $\mathscr{B}$ est un système fondamental de voisinages de 0.