Bài tập 11, § 1

Trong một không gian vectơ tôpô E trên một vành chia tôpô rời rạc K tồn tại một hệ cơ bản $\mathfrak{B}$ các lân cận đóng của 0, thỏa mãn các điều kiện (EV$_{\text{II}}$) và (EV$_{\text{III}}$) cũng như hai điều kiện sau: (EV$_{\text{Ia}}$) Với mỗi $V \in \mathfrak{B}$, tồn tại $W \in \mathfrak{B}$ và một lân cận U của 0 trong K sao cho UW $\subset V$. (EV$_{\text{Ib}}$) Với mọi $x \in E$ và mọi $V \in \mathfrak{B}$, tồn tại $\lambda \neq 0$ trong K sao cho $\lambda x \in V$. Ngược lại, cho E là một không gian vectơ trên K và cho $\mathfrak{B}$ là một cơ sở lọc trên E thỏa mãn các điều kiện (EV$_{\text{Ia}}$), (EV$_{\text{Ib}}$), (EV$_{\text{II}}$) và (EV$_{\text{III}}$). Chứng minh rằng tồn tại một tôpô trên E (và chỉ có một tôpô như vậy), tương thích với cấu trúc không gian vectơ của E, và sao cho $\mathfrak{B}$ là một hệ cơ bản các lân cận của 0.