Exercice 12, § 1

Soient K un corps commutatif discret, E le corps des fractions de l’anneau de séries formelles $A = K[[X, Y]]$ en deux indéterminées sur K (A, IV, p. 36). Pour tout entier $n \geq 0$, soit $V_n \subset A$ l’ensemble des séries formelles d’ordre (total) au moins égal à $n$. Montrer que, dans E, les ensembles $V_n$ forment un système fondamental de voisinages de 0 pour une topologie compatible avec la structure d’espace vectoriel de E (sur K), pour laquelle E est métrisable et complet ; si en outre K est un corps fini, E est localement compact. Montrer que l’application K-bilinéaire $(u, v) \mapsto uv$ de $E \times E$ dans E est continue au point (0, 0), mais qu’il existe des $u_0 \in E$ tels que $v \mapsto u_0 v$ ne soit pas continue dans E (par exemple, $u_0 = 1/X$).