Bài tập 12, § 1

Cho K là một trường rời rạc, E là vành chia các phân thức của vành các chuỗi hình thức $A = K[[X, Y]]$ theo hai biến bất định trên K (A, IV, p. 36). Với mọi $n \geq 0$, gọi $V_n \subset A$ là tập hợp các chuỗi hình thức có bậc tổng cộng lớn hơn hoặc bằng n. Hãy chứng minh rằng trong E, các tập hợp $V_n$ tạo thành một hệ lân cận cơ bản của 0, đối với một tôpô tương thích với cấu trúc không gian vectơ của E (trên K), mà đối với nó E là mêtric được và đầy đủ; nếu thêm nữa K là một trường hữu hạn, thì E là địa phương compact. Hãy chứng minh rằng ánh xạ song tuyến tính trên K $(u, v) \mapsto uv$ của $E \times E$ vào E là liên tục tại điểm (0, 0) nhưng tồn tại $u_0 \in E$ sao cho $v \mapsto u_0 v$ không liên tục trong E (ví dụ $u_0 = 1/X$).