Exercice 13, § 1

Soit E un espace vectoriel de dimension infinie sur $\mathbf{R}$, et soit $\mathscr{T}$ l’ensemble de toutes les parties équilibrées et absorbantes de E. Montrer que $\mathscr{T}$ ne satisfait pas à l’axiome (EV_{III}) (autrement dit, n’est pas un système fondamental de voisinages de 0 pour une topologie compatible avec la structure de groupe additif de E). Pour cela, considérer une famille libre infinie $(e_n)_{n \geq 1}$ dans E ; pour tout entier $n \geq 1$, soit $A_n$ l’ensemble des points $\sum_{i=1}^n t_i e_i$ tels que $|t_i| \leq 1/n$ pour $1 \leq i \leq n$ ; soient A la réunion des $A_n$, V un sous-espace supplémentaire du sous-espace de E engendré par les $e_n$, C l’ensemble $A + V$ ; montrer qu’il n’existe aucun ensemble $M \in \mathscr{T}$ tel que $M + M \subset C$.