Bài tập 13, § 1

Cho E là một không gian vectơ có chiều vô hạn trên $\mathbf{R}$, và cho $\mathfrak{T}$ là họ tất cả các tập hợp hút và cân bằng của E. Chứng minh rằng $\mathfrak{T}$ không thỏa mãn tiên đề (EV$_{\text{III}}$) (nói cách khác, không phải là một hệ cơ bản các lân cận của 0 đối với một tôpô tương thích với cấu trúc nhóm cộng của E). Để làm điều này, xét một họ độc lập vô hạn $(e_n)_{n \geq 1}$ trong E; với mỗi số nguyên $n \geq 1$, cho $A_n$ là tập hợp các điểm $\sum_{i=1}^n t_i e_i$ sao cho $|t_i| \leq 1/n$ với $1 \leq i \leq n$; cho A là hợp của các $A_n$, và V là một không gian con bù của không gian con của E sinh bởi các $e_n$, và ký hiệu C là tập hợp $A + V$; chứng minh rằng không tồn tại tập hợp $M \in \mathfrak{T}$ sao cho $M + M \subset C$.