Exercice 14, § 1

Soient K un corps topologique séparé, $(E_i)_{i \in I}$ une famille infinie d’espaces vectoriels topologiques séparés sur K, non réduits à 0. On considère sur $F = \prod_{i \in I} E_i$ la topologie $\mathscr{T}$, compatible avec la structure de groupe additif de F, pour laquelle un système fondamental de voisinages de 0 est formé des produits $\prod_{i \in I} V_i$, où, pour chaque $i \in I$, $V_i$ est un voisinage quelconque de 0 dans $E_i$ (topologie strictement plus fine que la topologie produit ; cf. TG, III, p. 70, exerc. 23). On désigne par $\mathscr{T}_0$ la topologie induite par $\mathscr{T}$ sur le sous-espace $E = \bigoplus_{i \in I} E_i$ de F ; E est fermé dans F pour la topologie $\mathscr{T}$, et si chacun des $E_i$ est complet, F est complet pour la topologie $\mathscr{T}$, donc E pour $\mathscr{T}_0$ (TG, III, p. 73, exerc. 10). a) Montrer que s’il existe dans K un voisinage de 0 borné à droite (TG, III, p. 81, exerc. 12) (en particulier, si K est un corps valué), la topologie $\mathscr{T}_0$ est compatible avec la structure d’espace vectoriel de E. Si en outre K n’est pas discret, E n’est un espace de Baire pour aucune topologie plus fine que $\mathscr{T}_0$ et compatible avec la structure d’espace vectoriel de E. b) Inversement, s’il n’existe dans K aucun voisinage de 0 borné à droite (voir c)), donner un exemple de famille $(E_i)$ telle que la topologie $\mathscr{T}_0$ ne soit pas compatible avec la structure d’espace vectoriel de E. c) Soit $A = \mathbf{R}[X]$ l’anneau des polynômes en une indéterminée sur $\mathbf{R}$. Pour toute suite $s = (\varepsilon_n)_{n \geq 0}$ de nombres réels $> 0$, on désigne par $V_s$ l’ensemble des polynômes $\sum_k a_k X^k \in A$ tels que $|a_k| < \varepsilon_k$ pour tout $k$. Soit $\mathscr{T}$ l’ensemble des $V_s$ où s parcourt l’ensemble des suites de nombres $> 0$. Montrer que $\mathscr{T}$ est un système fondamental de voisinages symétriques de 0 pour une topologie compatible avec la structure d’anneau de A. Soit $K = \mathbf{R}(X)$ le corps des fractions de A ; on désigne par $\mathscr{G}$ l’ensemble des parties de K de la forme $U(1 + U)^{-1}$, où U parcourt l’ensemble des $V_s$ ne contenant pas 1 ; montrer que $\mathscr{G}$ est un système fondamental de voisinages de 0 pour une topologie compatible avec la structure de corps de K, et qu’il n’existe dans K aucun voisinage de 0 qui soit borné.

d) Pour tout corps topologique séparé K, montrer qu’il existe un ensemble I tel que sur F = K^I, la topologie $\mathscr{T}$ définie ci-dessus ne soit pas compatible avec la structure d’espace vectoriel de F.