Bài tập 14, § 1

Cho K là một vành chia tôpô Hausdorff, $(E_\iota)_{\iota \in I}$ là một họ vô hạn các không gian vectơ tôpô Hausdorff trên K, không có không gian nào trong số đó là điểm đơn 0. Ta xét trên $F = \prod_{\iota \in I} E_\iota$ tôpô $\mathscr{T}$, tương thích với cấu trúc nhóm cộng của F, mà một hệ cơ bản các lân cận của 0 được tạo bởi các tích $\prod_{\iota \in I} V_\iota$, trong đó, với mỗi $\iota \in I$, tập hợp $V_\iota$ là một lân cận của 0 trong E (tôpô này mịn hơn nghiêm ngặt tôpô tích; cf. GT, III, § 2, bài tập 23). Ta ký hiệu $\mathscr{T}_0$ là tôpô cảm sinh bởi $\mathscr{T}$ trên không gian con $E = \bigoplus_{\iota \in I} E_\iota$ của F; E là đóng trong F đối với tôpô $\mathscr{T}$, và nếu mỗi $E_\iota$ là đầy đủ, thì F là đầy đủ đối với tôpô $\mathscr{T}$, do đó E là đầy đủ đối với tôpô $\mathscr{T}_0$ (GT, III, § 3, bài tập 10). a) Chứng minh rằng nếu tồn tại trong K một lân cận của 0 bị chặn bên phải (GT, III, § 6, bài tập 12) (đặc biệt nếu K là một vành chia với một định giá), thì tôpô $\mathscr{T}_0$ tương thích với cấu trúc không gian vectơ của E. Nếu thêm nữa K không rời rạc, thì E không phải là một không gian Baire đối với bất kỳ tôpô nào mịn hơn $\mathscr{T}_0$ và tương thích với cấu trúc không gian vectơ của E. b) Hơn nữa, nếu trong K không tồn tại bất kỳ lân cận nào của 0 bị chặn bên phải (xem c)) hãy cho một ví dụ về một họ $(E_\iota)$ sao cho tôpô $\mathscr{T}_0$ không tương thích với cấu trúc không gian vectơ của E. c) Cho $A = \mathbf{R}[X]$ là vành các đa thức theo một biến trên $\mathbf{R}$. Với mỗi dãy $s = (\varepsilon_n)_{n \geq 0}$ các số thực $> 0$, ký hiệu $V_s$ là tập hợp các đa thức $\sum_k a_k X^k \in A$ sao cho $|a_k| < \varepsilon_k$ với mọi k. Cho $\mathfrak{T}$ là tập hợp các $V_s$ khi s thay đổi trong tập hợp các dãy số $> 0$. Chứng minh rằng $\mathfrak{T}$ là một hệ cơ bản các lân cận đối xứng của 0 đối với một tôpô tương thích với cấu trúc vành của A. Cho $K = \mathbf{R}(X)$ là vành chia các phân thức của A; ký hiệu $\mathfrak{S}$ là họ các tập con của K có dạng $U(1 + U)^{-1}$, trong đó U thay đổi trong tập hợp các $V_s$ không chứa 1; chứng minh rằng $\mathfrak{S}$ là một hệ cơ bản các lân cận của 0 đối với một tôpô tương thích với cấu trúc vành chia của K, và rằng trong K không tồn tại lân cận nào của 0 bị chặn.

d) Với mọi vành chia tôpô Hausdorff K, chứng minh rằng tồn tại một tập hợp I sao cho trên $F = K^I$, tôpô $\mathscr{T}$, được định nghĩa ở trên, không tương thích với cấu trúc không gian vectơ của F.