Exercice 4, § 1

Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps valué $K$; on suppose $E$ muni d’une topologie métrisable compatible avec sa structure de groupe additif. On suppose en outre que cette topologie vérifie les axiomes (EVT$_1'$) et (EVT$_{\text{II}}'$); montrer que si l’un des deux groupes métrisables $K$, $E$ est complet, la topologie de $E$ vérifie aussi (EVT$_{\text{III}}'$), et est par suite compatible avec la structure d’espace vectoriel de $E$ (cf. TG, IX, p. 115, exerc. 21).