Exercice 5, § 1

Soient K un corps valué commutatif non discret, S un ensemble infini quelconque. a) Soit D = (a_n) un ensemble infini dénombrable d’éléments de S. Pour tout $\lambda \in K$ tel que $|\lambda| \leq 1$, soit $u_\lambda$ l’élément de l’espace normé $\mathscr{B}_K(S)$ (I, p. 4) des applications bornées de S dans K, tel que $u_\lambda(a_n) = \lambda^n$ pour tout $n \in \mathbf{N}$ et $u_\lambda(b) = 0$ pour $b \notin D$. Montrer que la famille $(u_\lambda)$ est (algébriquement) libre. b) En déduire que toute base de l’espace vectoriel $\mathscr{B}_K(S)$ est équipotente à $K^S$ (en utilisant a), montrer que le cardinal de toute base de $\mathscr{B}_K(S)$ est au moins égal à Card (K) : remarquer d’autre part que Card($\mathscr{B}_K(S)$) = Card(K^S) et utiliser A, II, p. 182, exerc. 22). c) Montrer de la même manière que toute base de l’espace vectoriel $\ell_K^1(S)$ est équipotente à $(K \times S)^{\mathbf{N}}$.