Bài tập 5, § 1

Cho $K$ là một trường định giá không rời rạc, và $S$ là một tập vô hạn tùy ý.

a) Cho D = (a_n) là một vô hạn đếm được các phần tử của S. Với mọi $\lambda \in K$ sao cho $|\lambda| \leq 1$, cho $u_\lambda$ là phần tử của không gian định chuẩn $\mathscr{B}_K(S)$, (I, p. 4, Ví dụ) gồm các ánh xạ bị chặn từ S vào $\bar{K}$, sao cho $u_\lambda(a_n) = \lambda^n$ với mọi $n \in \mathbf{N}$ và $u_\lambda(b) = 0$ với $b \notin D$. Chứng minh rằng họ $(u_\lambda)$ là độc lập đại số. b) Suy ra rằng mọi cơ sở của không gian vectơ $\mathscr{B}_K(S)$ có cùng lực lượng như $K^S$ (dùng a) chứng minh rằng lực lượng của mọi cơ sở của $\mathscr{B}_K(S)$ ít nhất bằng Card (K); chú ý mặt khác rằng Card($\mathscr{B}_K(S)$) = Card(K^S) và dùng A, II, § 2, exerc. 22). c) Chứng minh theo cùng cách rằng mọi cơ sở của không gian vectơ $\ell_K^1(S)$ có lực lượng của $(K \times S)^{\mathbf{N}}$.