Exercice 6, § 1

Soit K un corps valué non discret. Montrer que, sur l’espace $\ell_K^1(\mathbf{N})$ des suites absolument sommables $x = (\xi_n)$ d’éléments de K, les normes $\|x\|_1 = \sum_{n=0}^\infty |\xi_n|$ et $\|x\| = \sup_n |\xi_n|$ ne sont pas équivalentes (cf. TG, IX, p. 32, prop. 8) ; montrer que $\ell_K^1(\mathbf{N})$, muni de la norme $\|x\|$, n’est jamais complet, même si K est complet ; quelle est son adhérence dans $\mathscr{B}_K(\mathbf{N})$ ?