Exercice 8, § 1

Soit E un espace vectoriel topologique sur un corps topologique non discret K. Pour qu’il existe un voisinage du point (0, 0) de $K \times E$ tel que l’application $(\lambda, x) \mapsto \lambda x$ soit uniformément continue dans ce voisinage, il faut et il suffit qu’il existe un voisinage $V_0$ de 0 dans E tel que les ensembles $\lambda V_0$ forment un système fondamental de voisinages de 0 dans E lorsque $\lambda$ parcourt l’ensemble des éléments $\neq 0$ de K. Lorsque K est un corps valué non discret et que E est séparé, montrer que la structure uniforme de E est alors métrisable.