Bài tập 8, § 1

Cho E là một không gian vectơ tôpô trên một vành chia tôpô không rời rạc K. Để tồn tại một lân cận của điểm (0, 0) trong $K \times E$ sao cho ánh xạ $(\lambda, x) \mapsto \lambda x$ là liên tục đều trong lân cận này, điều kiện cần và đủ là tồn tại một lân cận $V_0$ của 0 trong E sao cho các tập hợp $\lambda V_0$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của 0 trong E, trong đó $\lambda$ thay đổi trong tập hợp các phần tử $\neq 0$ của K. Khi K là một vành chia với một định giá không rời rạc và E là Hausdorff, hãy chứng minh rằng cấu trúc đều của E khi đó là mêtric hóa được.