Exercice 1, § 2

Soit S un ensemble infini quelconque. a) Montrer que le plus petit cardinal des ensembles totaux dans l’espace normé $\mathscr{B}(S)$ des applications bornées de S dans $\mathbf{R}$ (I, p. 4) est égal à $2^{\mathrm{Card}(S)}$ (considérer l’ensemble des fonctions caractéristiques des parties de S, et remarquer qu’il existe un ensemble dénombrable partout dense dans $\mathbf{R}$). b) Montrer que le plus petit cardinal des ensembles totaux dans l’espace normé $\ell^1(S)$ (I, p. 4) est égal à Card(S).