§ 2. Variétés linéaires dans un espace vectoriel topologique

1. Adhérence d’une variété linéaire

Rappelons (A, II, p. 128) que, dans un espace vectoriel E sur un corps K, une variété linéaire affine (appelée simplement « variété linéaire » quand il n’en résulte pas de confusion) est la transformée par une translation quelconque d’un sous-espace vectoriel de E.

Proposition 1

Dans un espace vectoriel topologique E, l’adhérence d’une variété linéaire est une variété linéaire.

En effet, toute translation étant un homéomorphisme de E, il suffit de démontrer la proposition pour un sous-espace vectoriel M de E, et dans ce cas, la proposition a été vue dans I, p. 4.

Corollaire

Dans un espace vectoriel topologique E, tout hyperplan est fermé ou partout dense.

En effet, l’adhérence d’un hyperplan homogène H ne peut être que H ou l’espace E tout entier, puisque c’est un sous-espace vectoriel contenant H (prop. 1).

On voit donc que, pour qu’un hyperplan H soit fermé dans E, il faut et il suffit que $\mathbf{C} \subset H$ contienne un point intérieur.

Étant donnée une partie A d’un espace vectoriel topologique E, rappelons que le sous-espace vectoriel M engendré par A est l’ensemble des combinaisons linéaires des éléments de A (A, II, p. 16, prop. 9) ; l’adhérence de M dans E est, en vertu de la prop. 1, le plus petit sous-espace vectoriel fermé contenant A ; on dit que c’est le sous-espace vectoriel fermé engendré par A.

Définition 1

Dans un espace vectoriel topologique E, on dit qu’un ensemble A est total si le sous-espace vectoriel fermé engendré par A est identique à E (ou, en d’autres termes, si l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de A est partout dense).

Exemple 1

Dans l’espace normé $\mathscr{C}(I ; \mathbf{C})$ (sur le corps $\mathbf{C}$ ) des fonctions continues dans $I = \{0, 1\}$ , à valeurs dans $\mathbf{C}$ , les restrictions à I des monômes $x^n$ ( $n \in \mathbf{N}$ ) forment un ensemble total, en vertu du th. de Weierstrass-Stone (TG, X, p. 36, th. 3). De même dans le sous-espace P de $\mathscr{C}(I ; \mathbf{C})$ formé des fonctions telles que $f(0) = f(1)$ , les restrictions à I des fonctions $e^{2n\pi ix}$ ( $n \in \mathbf{Z}$ ) forment un ensemble total (TG, X, p. 40, prop. 8).

Exemple 2

Tout ensemble absorbant dans un espace vectoriel topologique E sur un corps valué non discret (et en particulier tout voisinage de 0 dans E) est un ensemble total puisqu’il engendre E (I, p. 7). On déduit de là qu’une variété linéaire qui n’est pas dense dans E est nécessairement un ensemble rare dans E (TG, IX, p. 52), puisque son adhérence ne peut contenir de point intérieur.

Définition 2

Dans un espace vectoriel topologique E, on dit qu’une famille $(a_\iota)_{\iota \in I}$ de points de E est topologiquement libre si, quel que soit $\kappa \in I$ , le sous-espace vectoriel fermé engendré par les $a_\iota$ d’indice $\iota \neq \kappa$ ne contient pas $a_\kappa$ .

Exemple 3

Dans l’espace normé $\mathscr{C}(I ; \mathbf{C})$ des fonctions continues dans $I = \{0, 1\}$ , les restrictions à I des fonctions $e^{2n\pi ix}$ ( $n \in \mathbf{Z}$ ) forment une famille topologiquement libre. En effet, pour tout $n \in \mathbf{Z}$ , si $f(x)$ est une combinaison linéaire $\sum_{k \neq n} c_k e^{2k\pi ix}$ (les $c_k$ étant nuls sauf un nombre fini d’entre eux), on a

\int_0^1 |e^{2n\pi ix} - f(x)|^2 \, dx = 1 + \sum_{k \neq n} |c_k|^2 \geq 1

et a fortiori, en vertu du th. de la moyenne

\sup_{x \in I} |e^{2n\pi ix} - f(x)| \geq 1

ce qui prouve que

e^{2n\pi ix}

n’appartient pas au sous-espace vectoriel fermé de

\mathscr{C}(I ; \mathbf{C})

engendré par les

e^{2k\pi ix}

d’indice

k \neq n

L’ensemble des éléments d’une famille topologiquement libre est appelé partie topologiquement libre de E. Toute partie d’une partie topologiquement libre est topologiquement libre ; toute partie réduite à un point $x \neq 0$ est topologiquement libre si l’espace E est séparé.

Une famille topologiquement libre est libre (au sens algébrique ; cf. A, II, p. 96, Remarque) ; mais la réciproque est inexacte.

Exemple 4

Dans l’espace normé $\mathscr{C}(I ; \mathbf{C})$ des fonctions continues dans $I = \{0, 1\}$ , les restrictions à I des monômes $x^n$ ( $n \in \mathbf{N}$ ) forment une famille libre au sens algébrique. Mais il existe une suite $(p_n)$ de polynômes telle que $p_n(x^2)$ converge uniformément vers x dans I (TG, X, p. 36, lemme 2), ce qui signifie que x appartient au sous-espace vectoriel fermé de $\mathscr{C}(I ; \mathbf{C})$ engendré par les monômes $x^{2^n}$ ( $n \in \mathbf{N}$ ).

Remarque 1

Contrairement à ce qui se passe en Algèbre pour les parties libres d’un espace vectoriel, l’ensemble des parties topologiquement libres d’un espace vectoriel topologique E n’est pas inductif en général pour la relation d’inclusion (I, p. 25, exerc. 2) ; en outre, il n’existe pas nécessairement dans E de partie topologiquement libre maximale (I, p. 25, exerc. 4), donc il n’existe pas nécessairement de partie topologiquement libre qui soit en même temps totale.

Remarque 2

Soient M un sous-espace vectoriel fermé de E, et $(\dot{a}_i)_{i \in I}$ une famille topologiquement libre dans l’espace quotient $E/M$ . Si $a_i$ est un élément quelconque de la classe $\dot{a}_i$ , la famille $(a_i)_{i \in I}$ est topologiquement libre, comme il résulte de la déf. 2 et du fait que l’application canonique de E sur $E/M$ est continue. Mais on notera que si N est le sous-espace vectoriel fermé engendré par les $a_i$ , on peut avoir $M \cap N \neq \{0\}$ (I, p. 25, exerc. 2) et par suite la somme $M + N$ n’est pas nécessairement directe au sens algébrique (ni a fortiori au sens topologique).

2. Droites et hyperplans fermés

Proposition 2

Tout espace vectoriel topologique séparé E de dimension 1 sur un corps valué non discret K est isomorphe à $K_s$ ; de façon précise, pour tout $a \neq 0$ dans E, l’application $\xi \mapsto \xi a$ de $K_s$ sur E est un isomorphisme* (autrement dit, toute application linéaire de $K_s$ sur E est un isomorphisme).

Comme l’application $\xi \mapsto \xi a$ de $K_s$ sur E est bijective et continue (I, p. 1, déf. 1), il suffit de prouver qu’elle est bicontinue. Soit $\alpha$ un nombre réel $> 0$ ; on va montrer qu’il existe un voisinage V de 0 dans E tel que la relation $\xi a \in V$ entraîne $|\xi| < \alpha$ . Comme K n’est pas discret, il existe un élément $\xi_0 \in K$ tel que $0 < |\xi_0| < \alpha$ ; d’autre part, E étant séparé, il existe dans E un voisinage V de 0 ne contenant pas $\xi_0 a$ , et on peut supposer V équilibré (I, p. 7, prop. 4). Montrons que la relation $\xi a \in V$ entraîne $|\xi| < |\xi_0|$ ; sinon, on aurait $|\xi_0 \xi^{-1}| \leq 1$ , donc $\xi_0 a = (\xi_0 \xi^{-1}) (\xi a) \in V$ , contrairement à l’hypothèse, ce qui achève la démonstration.

Corollaire 1

Dans un espace vectoriel topologique séparé E sur un corps valué non discret K, tout sous-espace vectoriel D de dimension 1 est isomorphe à $K_s$ *.

Corollaire 2

Soit E un espace vectoriel topologique sur un corps valué non discret. Tout sous-espace vectoriel D (de dimension 1) supplémentaire algébrique d’un hyperplan homogène fermé H est supplémentaire topologique de H*.

En effet, dans D, l’ensemble réduit à 0 est fermé, étant l’intersection de D et de l’ensemble fermé H ; D est donc séparé. Mais comme E/H est aussi séparé, l’application canonique de D sur E/H, qui est linéaire, est un isomorphisme en vertu de la prop. 2, d’où la conclusion (TG, III, p. 47).

Théorème 1

Soit E un espace vectoriel topologique sur un corps valué non discret. Soit H un hyperplan dans E, défini par une équation $f(x) = \alpha$ , où f est une forme linéaire non identiquement nulle. Pour que H soit fermé dans E, il faut et il suffit que f soit continue*.

La condition est évidemment suffisante (TG, I, p. 9, th. 1); montrons qu’elle est nécessaire. On peut supposer que H est un hyperplan fermé homogène, d’équation $f(x) = 0$ ; l’espace quotient $E/H$ est alors un espace vectoriel topologique séparé de dimension 1 sur K. On peut écrire $f = g \circ \varphi$ , où $\varphi$ est l’application canonique de E sur $E/H$ , et g une application linéaire de $E/H$ sur $K_s$ ; d’après la prop. 2, g est continue, donc il en est de même de f.

Corollaire

Toute forme linéaire continue et non nulle sur E est un morphisme strict de E sur $K_s$ .

Remarque

On peut donner des exemples d’espaces vectoriels topologiques normés sur un corps valué non discret et complet, dans lesquels toute forme linéaire continue est identiquement nulle (I, p. 25, exerc. 4) ; dans un tel espace, tout hyperplan est donc partout dense (I, p. 11, corollaire).

3. Sous-espaces vectoriels de dimension finie

Théorème 2

Tout espace vectoriel topologique séparé E de dimension finie n sur un corps valué complet et non discret K, est isomorphe à $K_s^n$ ; de façon précise, pour toute base $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ de E sur K, l’application linéaire $(\xi_i) \mapsto \sum_{i=1}^n \xi_i e_i$ est un isomorphisme de $K_s^n$ sur E.

La prop. 2 de I, p. 13, entraîne que le th. 2 est vrai pour $n = 1$ ; raisonnons par récurrence sur n. Soit H le sous-espace vectoriel de E engendré par $e_1, e_2, \ldots, e_{n-1}$ ; l’hypothèse de récurrence montre que l’application $(\xi_i)_{1 \leq i \leq n-1} \mapsto \sum_{i=1}^{n-1} \xi_i e_i$ est un isomorphisme de $K_s^{n-1}$ sur H. Le sous-espace H, isomorphe à un produit d’espaces complets, est complet (TG, II, p. 17, prop. 10) ; par suite, il est fermé dans E (TG, II, p. 16, prop. 8). Soit D le sous-espace Ke_n supplémentaire de H dans E ; E est somme directe topologique de H et de D (I, p. 13, cor. 2), donc l’application

(\xi_i)_{1 \leq i \leq n} \mapsto \sum_{i=1}^n \xi_i e_i \text{ de } K_s^{n-1} \times K_s

sur E est un isomorphisme.

L’hypothèse que K est complet est essentielle pour la validité du th. 2 dès que $n > 1$ . En effet, soit K un corps valué non complet, et soit $\hat{K}$ son complété : pour tout élément $a \neq 0$ de $\hat{K}$ , $K.a$ est partout dense dans $\hat{K}$ , puisque $x \mapsto xa$ est un homéomorphisme de $\hat{K}$ sur lui-même. Si $a \notin K$ , le sous-espace $K + Ka$ de l’espace vectoriel topologique $\hat{K}$ sur K, est de dimension 2 sur K, mais il n’est pas isomorphe à $K_s^2$ , puisque tout sous-espace de dimension 1 dans $K + Ka$ est dense dans $K + Ka$ .

Corollaire 1

Dans un espace vectoriel topologique séparé E sur un corps valué complet et non discret K, tout sous-espace vectoriel F de dimension finie est fermé dans E.

En effet, si F est de dimension n, il est isomorphe à $K_s^n$ , donc complet, et par suite fermé dans E (TG, II, p. 16, prop. 8).

Corollaire 2

Soient K un corps valué complet et non discret, E un espace vectoriel topologique séparé de dimension finie sur K, F un espace vectoriel topologique quelconque sur K ; toute application linéaire de E dans F est continue.

Corollaire 3

Dans un espace vectoriel topologique séparé E sur un corps valué complet et non discret, toute partie libre finie est topologiquement libre.

Corollaire 4

Soit E un espace vectoriel topologique sur un corps valué complet non discret. Soient M un sous-espace vectoriel fermé de E, F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E ; le sous-espace M + F est fermé dans E.

En effet, l’espace quotient E/M est séparé ; soit $\varphi$ l’homomorphisme canonique de E sur E/M ; le sous-espace M + F est égal à $\varphi^{-1}(\varphi(F))$ . Or, $\varphi(F)$ est de dimension finie dans E/M, donc (cor. 1) $\varphi(F)$ est fermé dans E/M, et par suite $\varphi^{-1}(\varphi(F))$ est fermé dans E.

On observera que, si M et N sont deux sous-espaces vectoriels fermés quelconques dans un espace vectoriel topologique séparé E, M + N n’est pas nécessairement fermé dans E, \* même si E est un espace hilbertien \* (cf. IV, p. 64, exerc. 13 d)).

Proposition 3

Soit E un espace vectoriel topologique sur un corps valué complet et non discret K. Soit M un sous-espace vectoriel fermé de codimension finie n dans E. Tout sous-espace N supplémentaire algébrique de M dans E est supplémentaire topologique de M.

En effet, dans N, l’ensemble réduit à 0 est fermé, étant l’intersection de N et de l’ensemble M fermé dans E ; N est donc séparé. Comme E/M est aussi séparé, l’application canonique de N sur E/M, qui est linéaire et bijective, est bicontinue (I, p. 14, cor. 2), d’où la proposition.

Corollaire

Soient E et F deux espaces vectoriels topologiques sur un corps valué complet et non discret. Si F est séparé et de dimension finie, toute application linéaire continue de E sur F est un morphisme strict.

Remarque

Les résultats des nos 2 et 3 ne sont plus valables lorsque K est discret. Par exemple, soit $K_1$ un corps valué non discret, et soit K le corps discret obtenu en munissant $K_1$ de la valeur absolue impropre ; $K_1$ est un espace vectoriel topologique de dimension 1 sur K, mais n’est pas isomorphe à $K_s$ . Toutefois, on peut montrer que les résultats des nos 2 et 3 subsistent lorsque K est discret, pourvu qu’on impose aux espaces vectoriels topologiques considérés d’avoir un système fondamental de voisinages, équilibrés de 0 (c’est-à-dire ici de voisinages V tels que $K.V = V$ ) (I, p. 28, exerc. 14) ; cette condition (qui est toujours remplie lorsque K est un corps valué non discret, cf. I, p. 7, prop. 4) ne l’est plus ici pour tous les espaces vectoriels topologiques sur K, comme le montre l’exemple précédent.

4. Espaces vectoriels topologiques localement compacts

Théorème 3

Soit K un corps valué complet non discret. Un espace vectoriel topologique séparé E sur K qui admet un voisinage de 0 précompact V est de dimension finie. Si E n’est pas réduit à 0, K et E sont alors localement compacts.

Pour démontrer la première assertion, on peut se borner au cas où E est complet, car E est un sous-espace partout dense de son complété $\hat{E}$ et l’adhérence $\overline{V}$ de V dans $\hat{E}$ est compacte et est un voisinage de 0 dans $\hat{E}$ (TG, III, p. 24, prop. 7).

On peut donc supposer qu’il y a dans E un voisinage compact V de 0. Soit $\alpha \in K$ tel que $0 < |\alpha| < 1$ ; il y a donc des points $a_i \in V$ en nombre fini tels que

V \subset \bigcup_i (a_i + \alpha V).

Soit M le sous-espace (de dimension finie) de E engendré par les $a_i$ ; il est fermé dans E (I, p. 14, cor. 1); dans l’espace vectoriel topologique séparé E/M, l’image canonique de V est un voisinage compact W de 0 tel que $W \subset \alpha W$ ; ceci s’écrit encore $\alpha^{-1}W \subset W$ , d’où par récurrence sur $n$ , $\alpha^{-n}W \subset W$ pour tout entier positif $n$ . Comme W est absorbant, on en déduit que $W = E/M$ ; autrement dit E/M est compact. Pour prouver la première assertion, il suffit donc de démontrer le lemme suivant :

Lemme 1

Tout espace vectoriel topologique compact E sur un corps valué non discret est réduit à 0*.

En effet, comme E est complet, on peut supposer qu’il en est de même de K (I, p. 6). Si E n’était pas réduit à 0, il contiendrait une droite, fermée dans E, donc compacte, et isomorphe à $K_s$ (I, p. 14, cor. 1 et I, p. 13, prop. 2), et par suite K serait compact ; mais cela est absurde, car l’application $\xi \mapsto |\xi|$ de K dans $\mathbf{R}$ est continue, donc serait bornée, alors qu’il existe des $\gamma \in K$ tels que $|\gamma| > 1$ , donc tels que $|\gamma^n| = |\gamma|^n$ soit arbitrairement grand.

Revenant au th. 3, on voit que si E admet un voisinage de 0 précompact et n’est pas réduit à 0, E est de dimension finie sur K, donc isomorphe à un espace $K_s^n$ avec $n > 0$ ; comme K est complet, il en est de même de E, qui est donc localement compact. Puisque $K_s$ est isomorphe à une droite de E (I, p. 13, prop. 2), nécessairement fermée dans E (I, p. 14, cor. 1), K est localement compact.

Remarque

La conclusion du th. 3 ne subsiste plus lorsque K est un corps discret, comme le montre l’exemple de $\mathbf{R}$ (muni de la topologie usuelle) considéré comme espace vectoriel topologique sur le corps $\mathbf{Q}$ discret.

Exercices

See the exercises for § 2.