Vì mọi phép tịnh tiến đều là một phép đồng phôi của $E$, nên đủ chứng minh mệnh đề cho một không gian con vectơ $M$ của $E$, và trong trường hợp này, mệnh đề đã được chứng minh ở I, p. 4.

Thật vậy, bao đóng của một siêu phẳng thuần nhất $H$ chỉ có thể là $H$ hoặc toàn bộ không gian $E$, vì nó là một không gian con vectơ chứa $H$ (mệnh đề 1).

Một siêu phẳng $H$ là đóng trong $E$ khi, và chỉ khi, $\complement H$ chứa một điểm trong.

Không gian con vectơ $M$ sinh bởi một tập hợp $A$, trong một không gian vectơ tôpô $E$, là tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các điểm của $A$ (A, II, § 1.7, mệnh đề 9); bao đóng của $M$ trong $E$ là, theo mệnh đề 1, không gian con vectơ đóng nhỏ nhất chứa $A$; ta nói rằng đó là không gian con vectơ đóng sinh bởi $A$.

Vì ánh xạ $\xi \mapsto \xi a$ của $K_s$ lên E là song ánh và liên tục (I, p. 1, định nghĩa 1), chỉ cần chứng minh rằng nó song liên tục. Cho $\alpha$ là một số thực $> 0$, ta chứng minh rằng tồn tại một lân cận V của 0 trong E sao cho nếu $\xi a \in V$ thì $|\xi| < \alpha$. Vì K không rời rạc, tồn tại một phần tử $\xi_0 \in K$ sao cho $0 < |\xi_0| < \alpha$; nhưng, vì E là Hausdorff, có một lân cận V của 0 sao cho $\xi_0 a$ không thuộc V. Ta có thể giả sử V là cân bằng (I, p. 7, mệnh đề 4). Khi đó nếu $\xi a \in V$ và $|\xi| \geq |\xi_0|$ thì ta có $|\xi_0 \xi^{-1}| \leq 1$, và $\xi_0 a = (\xi_0 \xi^{-1}) (\xi a) \in V$; vì mệnh đề cuối cùng này là sai nên ta thấy rằng $\xi a \in V$ suy ra $|\xi| < |\xi_0| < \alpha$. Điều này kết thúc chứng minh.

Trong D, tập $\{0\}$ là đóng, vì nó là giao của D và tập đóng H; do đó D là Hausdorff. Nhưng vì E/H cũng là Hausdorff, ánh xạ chính tắc của D lên E/H, là tuyến tính, cũng là một đẳng cấu theo mệnh đề 2, từ đó suy ra kết luận (GT, III, § 6.2).

Điều kiện này hiển nhiên là đủ (GT, I, § 2.1, th. 1); ta chứng minh rằng nó là cần. Ta có thể giả sử H là một siêu phẳng thuần nhất đóng với phương trình $f(x) = 0$. Khi đó không gian thương E/H là một không gian vectơ tôpô Hausdorff có chiều 1 trên K. Ta có thể viết $f = g \circ \phi$, trong đó $\phi$ là ánh xạ chính tắc của E lên E/H và g là một ánh xạ tuyến tính của E/H lên $K_s$; theo mệnh đề 2, g liên tục, do đó f cũng liên tục.

Mệnh đề 2 của I, p. 12, suy ra rằng định lý 2 đúng với $n = 1$; ta chứng minh bằng quy nạp theo $n$. Gọi $H$ là không gian con vectơ của $E$ sinh bởi $e_1, e_2, ..., e_{n-1}$; giả thiết quy nạp là ánh xạ $(\xi_i)_{1 \leq i \leq n-1} \mapsto \sum_{i=1}^{n-1} \xi_i e_i$ là một đẳng cấu của $K_s^{n-1}$ lên $H$. Không gian con $H$, vì đẳng cấu với một tích các không gian đầy đủ, nên đầy đủ (GT, II, § 3.5, mệnh đề 10); do đó nó là đóng trong $E$ (GT, II, § 3.4, mệnh đề 8). Gọi $D$ là không gian con $Ke_n$ bù với $H$ trong $E$; $E$ là tổng trực tiếp tôpô của $H$ và $D$ (I, p. 13, hệ quả 2), do đó ánh xạ

của $K_s^{n-1} \times K_s$ lên $E$ là một đẳng cấu.

Khi $n > 1$ thì giả thiết rằng $K$ là đầy đủ là thiết yếu cho tính đúng đắn của định lý 2. Thật vậy, cho $K$ là một vành chia có giá trị không đầy đủ, và cho $\hat{K}$ là sự hoàn thành của nó : với mỗi $a \neq 0$ của $\hat{K}$ tập $K.a$ trù mật khắp nơi trong $\hat{K}$, vì $x \mapsto xa$ là một đồng phôi của $\hat{K}$ lên chính nó. Nếu $a \notin K$, không gian con $K + Ka$ của không gian vectơ tôpô $\hat{K}$ trên $K$ có số chiều 2 trên $K$, nhưng nó không đẳng cấu với $K_s^2$ vì mọi không gian con có số chiều 1 trong $K + Ka$ đều trù mật trong $K + Ka$.

Cho $E$ là một không gian vectơ tôpô trên một vành chia có giá trị đầy đủ không rời rạc. Nếu $M$ là một không gian con vectơ đóng của $E$ và $F$ là một không gian con vectơ của $E$ có số chiều hữu hạn, thì không gian con $M + F$ là đóng trong $E$. Viết $\phi$ là đồng cấu chính tắc của $E$ lên không gian thương $E/M$ (tất nhiên là Hausdorff). Khi đó không gian con $M + F$ trùng với $\overline{\phi}^{-1}(\phi(F))$. Bây giờ $\phi(F)$ có số chiều hữu hạn trong $E/M$, do đó (hệ quả 1) $\phi(F)$ đóng trong $E/M$, và suy ra $\overline{\phi}^{-1}(\phi(F))$ đóng trong $E$.

Chú ý rằng, nếu $M$ và $N$ là bất kỳ hai không gian con vectơ đóng nào trong một không gian vectơ tôpô Hausdorff $E$, thì $M + N$ không nhất thiết đóng trong $E$, ngay cả khi $E$ là một không gian Hilbert (xem IV, p. 64, bài tập 13, d)).

Trong $N$, tập hợp $\{0\}$ là đóng, vì nó là giao của $N$ và tập hợp $M$ là đóng trong $E$; do đó $N$ là Hausdorff. Vì $E/M$ cũng Hausdorff, ánh xạ chính tắc của $N$ lên $E/M$, là tuyến tính và song ánh, là song tục (I, p. 14, hệ quả 2), từ đó suy ra mệnh đề.

Khi chứng minh mệnh đề thứ nhất, ta chỉ cần xét trường hợp $E$ là đầy đủ; vì $E$ là một không gian con trù mật khắp nơi của sự đầy đủ hóa $\hat{E}$ của nó, và bao đóng $\overline{V}$ của $V$ trong $\hat{E}$ là compact và là một lân cận của 0 trong $\hat{E}$ (GT, III, § 3.4, mệnh đề 7).

Vậy ta có thể giả sử rằng có một lân cận compact $V$ của 0 trong $E$. Lấy $\alpha \in K$ sao cho $0 < |\alpha| < 1$; khi đó có hữu hạn điểm $a_i \in V$ sao cho

Lấy $M$ là không gian con hữu hạn chiều của $E$ sinh bởi các $a_i$; nó đóng trong $E$ (I, p. 14, hệ quả 1). Trong không gian vectơ tôpô Hausdorff $E/M$, ảnh chính tắc của $V$ là một lân cận compact $W$ của 0, sao cho $W \subset \alpha W$; do đó $\alpha^{-1} W \subset W$, và, theo quy nạp trên $n$, $\alpha^{-n} W \subset W$ với mọi số nguyên dương $n$. Vì $W$ là hấp thụ, suy ra rằng $W = E/M$; và do đó $E/M$ là compact. Để hoàn tất chứng minh mệnh đề thứ nhất trong định lý, vì vậy chỉ cần thiết lập bổ đề sau.

Vì E đầy đủ nên có thể giả sử K đầy đủ (I, p. 6). Nếu E $\neq \{0\}$ thì E chứa một đường thẳng đóng trong E (I, p. 14, hệ quả 1) và do đó compact. Đường thẳng này đẳng cấu với $K_s$ (I, p. 12, mệnh đề 2) và vì thế K phải compact. Bây giờ ánh xạ $\xi \mapsto |\xi|$ của K vào $\mathbf{R}$ là liên tục và do đó ảnh của K phải bị chặn, mặt khác tồn tại $\gamma \in K$ với $|\gamma| > 1$, và tập $|\gamma^n| = |\gamma|^n, n \in \mathbf{N}$, là không bị chặn. Mâu thuẫn này cho thấy rằng $E = \{0\}$.

Để chứng minh mệnh đề thứ hai trong định lý, nếu $E \neq \{0\}$ thì từ phần thứ nhất của định lý E đẳng cấu với $K_s^n$ với $n > 0$; mà K đầy đủ, nên E cũng đầy đủ, và do đó E là địa phương compact. Nhưng $K_s$ đẳng cấu với một đường thẳng trong E (I, p. 12, mệnh đề 2), mà đường thẳng ấy tất yếu đóng trong E (I, p. 14, hệ quả 1); suy ra K là địa phương compact.