Exercice 10, § 2

Soient K un corps valué localement compact non discret, E un espace vectoriel à gauche de dimension finie sur K. On désigne par $\mathfrak{N}(E)$ l’ensemble des normes sur E, qui est un sous-ensemble de l’espace $\mathscr{C}(E ; \mathbf{R})$ des applications continues de E (pour la topologie canonique) dans $\mathbf{R}$. a). Lorsqu’on munit $\mathscr{C}(E ; \mathbf{R})$ de la topologie de la convergence compacte (pour laquelle c’est un espace de Fréchet), $\mathfrak{N}(E)$ est fermé dans $\mathscr{C}(E ; \mathbf{R})$, et localement compact. b) Soit $p_0$ un élément de $\mathfrak{N}(E)$; montrer qu’il existe une application continue $(\lambda, p) \mapsto \pi_\lambda(p)$ de $\{0, 1\} \times \mathfrak{N}(E)$ dans $\mathfrak{N}(E)$ telle que $\pi_0(p) = p$ et $\pi_1(p) = p_0$ pour tout $p \in \mathfrak{N}(E)$.