Bài tập 10, § 2

Cho K là một vành chia định giá compact địa phương không rời rạc, và E là một không gian vectơ trái có số chiều hữu hạn trên K. Ký hiệu bởi $\mathfrak{N}(E)$ tập hợp các chuẩn trên E, là một không gian con của không gian $\mathscr{C}(E; \mathbf{R})$ gồm các ánh xạ của E liên tục (trong tôpô chính tắc), vào $\mathbf{R}$. a) Khi ta trang bị cho $\mathscr{C}(E; \mathbf{R})$ tôpô hội tụ compact \* (đối với tôpô này nó là một không gian Fréchet) *, tập hợp $\mathfrak{N}(E)$ là đóng trong $\mathscr{C}(E; \mathbf{R})$, và địa phương compact. b) Cho $p_0$ là một phần tử của $\mathfrak{N}(E)$; hãy chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ liên tục $(\lambda, p) \mapsto \pi_\lambda(p)$ của $[0, 1] \times \mathfrak{N}(E)$ vào $\mathfrak{N}(E)$ sao cho $\pi_0(p) = p$ và $\pi_1(p) = p_0$ với mọi $p \in \mathfrak{N}(E)$.