Exercice 12, § 2

Soient K un corps valué localement compact dont la valeur absolue est ultramétrique et non discrète. On appelle ultranorme sur un espace vectoriel à gauche E sur K une norme vérifiant l’inégalité ultramétrique (II, p. 2). a) Soient E un espace vectoriel à gauche de dimension finie sur K, $\alpha$ une ultranorme sur E, H un hyperplan dans E, d’équation $\langle x, a^* \rangle = 0$. Montrer qu’il existe un point $x_0 \in E$ où la fonction $x \mapsto |\langle x, a^* \rangle| / \alpha(x)$ atteint sa borne supérieure dans $E - \{0\}$; montrer qu’on a alors

En déduire qu’il existe une base $(a_i)$ de E et une famille $(r_i)$ de nombres réels $> 0$ tels que l’on ait, pour tout $x = \sum_i \xi_i a_i$, $\alpha(x) = \sup (r_i |\xi_i|)$. On dit que $\alpha$ a une forme standard par rapport à la base $(a_i)$. b) Soit $\alpha^*$ la norme sur le dual $E^*$ de E canoniquement associée à $\alpha$ par qui est une ultranorme. Montrer que pour tout $x_0 \neq 0$ dans E, il existe $x_0^* \in E^*$ tel que $\alpha(x_0) = |\langle x_0, x_0^* \rangle| / \alpha^*(x_0^*)$. c) Soient $\alpha, \beta$ deux ultranormes quelconques sur E. Montrer qu’il existe une base de E telle que par rapport à cette base, $\alpha$ et $\beta$ aient toutes deux la forme standard (considérer un point $x_0 \in E - \{0\}$ tel qu’en ce point $\alpha/\beta$ atteigne son maximum ; puis utiliser $b$), et procéder par récurrence sur dim E).

d) Soit $\mathfrak{N}_0(E)$ l’ensemble des ultranormes sur $E$, considéré comme sous-espace de $\mathfrak{N}(E)$ (exerc. 10). Montrer que $\mathfrak{N}_0(E)$ est fermé dans $\mathfrak{N}(E)$. Soit $\alpha_0$ un élément de $\mathfrak{N}_0(E)$; pour tout $\alpha \in \mathfrak{N}_0(E)$ et pour $0 \leq t \leq 1$, soit $P_\alpha(t)$ l’ensemble des $\beta \in \mathfrak{N}_0(E)$ telles que $\beta(x) \leq \alpha_0(x)^{1-t} \alpha(x)^t$ pour tout $x \in E$. Montrer que $P_\alpha(t)$ n’est pas vide et que $\pi_t^\alpha = \sup P_\alpha(t)$ est une ultranorme. En outre l’application $(t, \alpha) \mapsto \pi_t^\alpha$ de $[0, 1] \times \mathfrak{N}_0(E)$ dans $\mathfrak{N}_0(E)$ est continue et telle que $\pi_0^\alpha = \alpha_0$ et $\pi_1^\alpha = \alpha$ (utiliser $c$).

*e) Soient $A$ l’anneau de la valeur absolue de $K$, $m$ son idéal maximal, de sorte que $k = A/m$ est un corps fini à $q$ éléments (AC, VI, § 5, no 1, prop. 2). Pour toute ultranorme $\alpha$ sur $E$, l’image canonique $X_\alpha$ de l’ensemble des valeurs de $\log \alpha(x)$ pour $x \in E - \{0\}$ dans le groupe quotient $R/(Z.\log q)$ est un ensemble fini ayant au plus $n = \dim E$ éléments (utiliser $a$) ; on appelle rang de $\alpha$ et on note $r(\alpha)$ le nombre d’éléments de cet ensemble. Montrer que $r$ est une application semi-continue inférieurement de $\mathfrak{N}_0(E)$ dans $\mathbf{N}$, et que l’ensemble $\mathfrak{N}_0'(E)$ des $\alpha$ tels que $r(\alpha) = n$ est ouvert et partout dense dans $\mathfrak{N}_0(E)$ (utiliser $a$ et $c$).

f) On suppose que $r(\alpha) = n$ ; soit $(a_i)$ une base de $E$ par rapport à laquelle $\alpha$ a une forme standard ; montrer qu’il existe un voisinage $V$ de $\alpha$ dans $\mathfrak{N}_0'(E)$ tel que tout $\beta \in V$ ait la forme standard par rapport à $(a_i)$ (utiliser $b$) ; en déduire qu’il existe un voisinage $W \subset V$ de $\alpha$ homéomorphe à un ouvert de $\mathbf{R}^n$.

g) Pour toute base $(a_i)$ de $E$, montrer que l’ensemble des ultranormes $\alpha$ qui ont une forme standard relativement à $(a_i)$ est fermé dans $\mathfrak{N}_0(E)$. En déduire que si $\alpha \in \mathfrak{N}_0'(E)$ a une forme standard relativement à $(a_i)$, il en est de même de tout élément de la composante connexe de $\alpha$ dans $\mathfrak{N}_0'(E)$.*