Bài tập 12, § 2

Cho K là một vành chia định giá compact địa phương có giá trị tuyệt đối không rời rạc và siêu mêtric. Ta gọi một chuẩn trên không gian vectơ trái E trên K là một chuẩn siêu nếu nó thỏa mãn bất đẳng thức siêu mêtric (II, p. 2). a) Cho E là một không gian vectơ trái hữu hạn chiều trên K, cho $\alpha$ là một chuẩn siêu trên E và H là một siêu phẳng trong E được cho bởi phương trình $\langle x, a^* \rangle = 0$. Hãy chứng minh rằng tồn tại một điểm $x_0 \in E$ tại đó hàm $x \mapsto |\langle x, a^* \rangle|/\alpha(x)$ đạt cận trên của nó trong $E \setminus \{0\}$; chứng minh rằng khi đó

Suy ra rằng tồn tại một cơ sở $(a_i)$ của E và một họ $(r_i)$ các số thực $> 0$ sao cho, với mọi $x = \sum_i \xi_i a_i$ ta có $\alpha(x) = \sup_i (r_i |\xi_i|)$. Ta nói rằng $\alpha$ ở dạng chuẩn đối với cơ sở $(a_i)$. b) Cho $\alpha^*$ là chuẩn trên $E^*$, đối ngẫu của E, liên kết một cách chính tắc với $\alpha$ bởi nó là một chuẩn siêu. Hãy chứng minh rằng với mọi $x_0 \neq 0$ trong E, tồn tại $x_0^* \in E^*$ sao cho $\alpha(x_0) = |\langle x_0, x_0^* \rangle|/\alpha^*(x_0^*)$. c) Cho $\alpha, \beta$ là hai chuẩn siêu bất kỳ trên E. Hãy chứng minh rằng tồn tại một cơ sở của E sao cho đối với cơ sở này $\alpha$ và $\beta$ đều ở dạng chuẩn (xét một điểm $x_0 \in E \setminus \{0\}$ tại đó $\alpha/\beta$ đạt cực đại của nó; sau đó dùng b) và tiến hành quy nạp theo dim E). d) Cho $\mathfrak{N}_0(E)$, tập hợp các chuẩn siêu trên E, được xem như một không gian con của $\mathfrak{N}(E)$ (bài tập 10). Hãy chứng minh rằng $\mathfrak{N}_0(E)$ đóng trong $\mathfrak{N}(E)$. Cho $\alpha_0$ là một phần tử của $\mathfrak{N}_0(E)$; với mỗi $\alpha \in \mathfrak{N}_0(E)$ và với $0 \leq t \leq 1$, gọi $P_\alpha(t)$ là tập hợp các $\beta \in \mathfrak{N}_0(E)$ sao cho $\beta(x) \leq \alpha_0(x)^{1-t} \alpha(x)^t$ với mọi $x \in E$. Hãy chứng minh rằng $P_\alpha(t)$ không rỗng và $\pi_t^\alpha = \sup P_\alpha(t)$ là một chuẩn siêu. Hơn nữa, ánh xạ (t, α) ↦ π_t^α từ [0, 1] × Ω_0(E) vào Ω_0(E) là liên tục và sao cho π_0^α = α_0 và π_1^α = α (dùng c)).

e) Cho A là vành của giá trị tuyệt đối của K, m là iđêan cực đại của nó sao cho k = A/m là một trường hữu hạn có q phần tử (CA, VI, § 5, No. 1, prop. 2). Với mỗi chuẩn siêu α trên E, ảnh Xα của tập hợp các giá trị của log α(x) với x ∈ E \ {0} qua ánh xạ chính tắc vào nhóm thương R/(Z.log q) là một tập hợp hữu hạn có nhiều nhất n = dim E phần tử (dùng a)); số các phần tử này được ký hiệu là r(α) và gọi là hạng của α. Hãy chứng minh rằng r là một ánh xạ nửa liên tục dưới từ Ω_0(E) vào N và tập hợp Ω'_0(E) gồm các α mà r(α) = n là mở và trù mật khắp nơi trong Ω_0(E) (dùng a) và c)).

f) Giả sử rằng r(α) = n; cho $(a_i)$ là một cơ sở của E đối với nó α ở dạng chuẩn; hãy chứng minh rằng tồn tại một lân cận V của α trong Ω'_0(E) sao cho mọi β ∈ V đều có dạng chuẩn đối với $(a_i)$ (dùng b)); suy ra rằng tồn tại một lân cận W ⊂ V của α đồng phôi với một tập mở trong R^n.

g) Với mọi cơ sở $(a_i)$ của E, hãy chứng minh rằng tập hợp các chuẩn siêu α có dạng chuẩn đối với $(a_i)$ là đóng trong Ω_0(E). Suy ra rằng nếu α ∈ Ω'_0(E) có dạng chuẩn đối với $(a_i)$ thì điều tương tự đúng với mọi phần tử của thành phần liên thông chứa α trong Ω'_0(E). \*

Π 13) \* Ta giữ các giả thiết tổng quát và các ký hiệu của bài tập 12.

a) Cho L là một A-môđun con tự do của E có chiều n = dim E. Với mọi x ∈ E \ {0}, tập hợp các a ∈ A sao cho ax ∈ L là một iđêan phân của K có dạng m^h (h là một số nguyên dương hoặc âm); đặt α(x) = q^h và α(0) = 0, hãy chứng minh rằng α là một chuẩn siêu trên E. Nó được gọi là liên kết với A-môđun tự do L.

b) Ngược lại, nếu α là một chuẩn siêu trên E, tập hợp L_α gồm các x ∈ E sao cho α(x) ≤ 1 là một A-môđun tự do có chiều n. Nếu [α] là chuẩn liên kết với L_α, ta có α ≤ [α] ≤ qα, và [α] là cận dưới của các chuẩn liên kết với các A-môđun tự do và lớn hơn hoặc bằng α. Ta có [qα] = q.[α], và α(x) = inf(q^{-t}[q^tα] (x)) với mọi x ∈ E, trong đó t biến thiên trong khoảng [0, 1]. Hơn nữa, hàm t ↦ [q^tα] (x) là liên tục trái trong khoảng này.

c) Với cùng các ký hiệu, hãy chứng minh rằng với 0 ≤ t ≤ 1, có nhiều nhất n chuẩn siêu phân biệt trong số các [q^tα]. Ngược lại, cho L là tập hợp các chuẩn siêu liên kết với các A-môđun tự do có chiều n, và cho $(\alpha_t)_{0 \leq t \leq 1}$ là một họ tăng các chuẩn siêu của L sao cho α_1 = qα_0. Hãy chứng minh rằng tồn tại một cơ sở của E đối với nó mọi α_t đều có dạng chuẩn (nếu u ∈ A là một phần tử có định giá 1, và L_t là A-môđun tự do của các x ∈ E sao cho α_t(x) ≤ 1, hãy xét các không gian vectơ L_t/uL_0 trên k). Suy ra thêm rằng, nếu với mọi x ∈ E, t ↦ α_t(x) là liên tục trái trong [0, 1] thì tồn tại duy nhất một chuẩn siêu α sao cho α_t = [q^tα] với mọi t ∈ [0, 1].

d) Nhóm tuyến tính GL(E) tác động liên tục trong Ω_0(E); hãy chứng minh rằng nó tác động đúng. Với mọi α ∈ Ω_0(E), nhóm ổn định S_α của α trong GL(E) là giao của các nhóm ổn định của các [q^tα] với 0 ≤ t ≤ 1; suy ra rằng S_α là một nhóm con mở compact của GL(E), và do đó quỹ đạo của mỗi α ∈ Ω_0(E) là một không gian con đóng, rời rạc của Ω_0(E).

e) Với mỗi siêu chuẩn α ∈ Ω_0(E), xét dãy giảm của các số chiều của các không gian vectơ k L_t/uL_0, trong đó L_t là A-môđun của các x ∈ E sao cho [q^tα] (x) ≤ 1, và t biến thiên từ 0 đến 1; ta gọi dãy này là dãy các bất biến của α. Để α và β thuộc cùng một quỹ đạo trong Ω_0(E), điều kiện cần và đủ là X_α = X_β (exerc. 12, e)) và dãy các bất biến của α và của β phải giống nhau (dùng exerc. 12, b)).

f) Suy ra từ e) rằng không gian các quỹ đạo Ω_0(E)/GL(E) là đẳng cấu với không gian các quỹ đạo T^n/Σ_n, trong đó nhóm đối xứng tác động bên phải lên T^n bởi (z_1, ..., z_n) ↦ (z_{σ(1)}, ..., z_{σ(n)}). \*

14) Khái quát hóa các kết quả của No. 2 và No. 3 cho các không gian vectơ tôpô E trên một vành chia rời rạc K, sao cho tồn tại một hệ cơ bản các lân cận cân bằng của 0 trong E (nghĩa là các lân cận V sao cho K.V = V).

15) Cho E là một không gian chuẩn có số chiều hữu hạn n trên R hoặc C. Gán cho không gian đối ngẫu E*, chuẩn được xác định bởi $\|x^*\| = \sup_{\|x\| \leq 1} |\langle x, x^*\rangle|$ (GT, X, § 3.2). Chứng minh rằng tồn tại một cơ sở (e_i)

1 Đối với các Bài tập 12 và 13, xem O. Goldman và N. Iwahori, The space of p-adic norms, Acta math., 109 (1963), pp. 137-177.

của E sao cho, nếu $(e_i^*)$ là cơ sở đối ngẫu, ta có $\|e_i\| = \|e_i^*\| = 1$ với mọi $i$. (Cho $(a_i)$ là một cơ sở của E được tạo thành bởi các vectơ có chuẩn 1; xét định thức $\det(\xi_{ij})$ đối với mỗi hệ gồm n vectơ $x_i = \sum_j \xi_{ij} a_j$ có chuẩn 1, và xét một hệ như vậy sao cho giá trị tuyệt đối của định thức này là cực đại.)