Exercice 15, § 2

Soit E un espace normé de dimension finie n sur R ou C. On munit le dual E* de la norme définie par $\|x^*\| = \sup_{\|x\| \leq 1} |\langle x, x^* \rangle|$ (TG, X, p. 23). Montrer qu’il existe une base $(e_i)$ de E telle que, si $(e_i^*)$ est la base duale, on ait $\|e_i\| = \|e_i^*\| = 1$ pour tout i. (Soit $(a_i)$ une base de E formée de vecteurs de norme 1 ; considérer, pour tout système de n vecteurs $x_i = \sum_j \xi_{ij} a_j$ de norme 1, le déterminant $\det(\xi_{ij})$ et considérer un tel système pour lequel la valeur absolue de ce déterminant est maxima.)