Bài tập 15, § 2

Cho E là một không gian chuẩn có số chiều hữu hạn n trên R hoặc C. Trang bị cho đối ngẫu E*, chuẩn được xác định bởi $\|x^*\| = \sup_{\|x\| \leq 1} |\langle x, x^*\rangle|$ (GT, X, § 3.2). Chứng minh rằng tồn tại một cơ sở (e_i)

1 Đối với các bài tập 12 và 13, xem O. Goldman và N. Iwahori, Không gian của các chuẩn p-adic, Acta math., 109 (1963), tr. 137-177.

của E sao cho, nếu $(e_i^*)$ là cơ sở đối ngẫu, ta có $\|e_i\| = \|e_i^*\| = 1$ với mọi $i$. (Cho $(a_i)$ là một cơ sở của E được tạo bởi các vectơ có chuẩn 1; xét định thức $\det(\xi_{ij})$ đối với mỗi hệ gồm $n$ vectơ $x_i = \sum_j \xi_{ij} a_j$ có chuẩn 1, và xét một hệ như vậy sao cho giá trị tuyệt đối của định thức này là cực đại.)