Exercice 2, § 2

Dans l’espace vectoriel topologique produit $E = \mathbf{R}^N$ sur le corps $\mathbf{R}$, on désigne par $e_n$ ($n \in \mathbf{N}$) les éléments de la base canonique de l’espace somme directe $\mathbf{R}^{(N)}$. On pose $a_0 = e_0$, $a_n = e_0 + (1/n)e_n$ pour $n \geq 1$. Montrer que, pour tout entier $n \geq 0$, les $a_i$ tels que $0 \leq i \leq n$ forment une famille topologiquement libre dans E, mais que la famille infinie $(a_n)_{n \geq 0}$ n’est pas topologiquement libre. Si M est le sous-espace vectoriel fermé $Ra_0$, les classes $\dot{a}_n$ des $a_n$ dans $E/M$ forment une famille topologiquement libre (pour $n \geq 1$), mais le sous-espace vectoriel fermé N engendré par les $a_n$ d’indice $n \geq 1$ dans E contient M.