Bài tập 2, § 2

Trong không gian vectơ tôpô tích E = $\mathbf{R}^N$ trên trường $\mathbf{R}$, ký hiệu $e_n$ ($n \in \mathbf{N}$) là các phần tử của cơ sở chính tắc của tổng trực tiếp $\mathbf{R}^{(N)}$. Đặt $a_0 = e_0$, $a_n = e_0 + (1/n)e_n$ với $n \geq 1$. Chứng minh rằng, với mọi số nguyên $n \geq 0$, các $a_i$ sao cho $0 \leq i \leq n$ tạo thành một họ độc lập tôpô trong E, nhưng họ vô hạn $(a_n)_{n \geq 0}$ không độc lập tôpô. Nếu M là không gian con vectơ đóng $Ra_0$, các lớp $\dot{a}_n$ của các $a_n$ trong E/M tạo thành một họ độc lập tôpô (với $n \geq 1$), nhưng không gian con vectơ đóng N sinh bởi các $a_n$, với chỉ số $n \geq 1$, trong E chứa M.