Exercice 4, § 2

On désigne par K le corps $\mathbf{R}$ muni de la valeur absolue $p(\xi) = |\xi|^{1/2}$. Soit E l’espace vectoriel sur K des fonctions numériques réglées dans $I = [0, 1]$, continues à droite en tout point et nulles au point 1 ; montrer que sur E l’application $x \mapsto \|x\| = \int_0^1 |x(t)|^{1/2} dt$ est une norme. Montrer que pour toute fonction $x \geq 0$ dans E, il existe dans E deux fonctions $x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$ telles que $x = \frac{1}{2}(x_1 + x_2)$ et

En déduire que toute forme linéaire continue sur E est identiquement nulle.