Bài tập 4, § 2

Ký hiệu K là trường $\mathbf{R}$ với giá trị tuyệt đối $p(\xi) = |\xi|^{1/2}$. Cho E là không gian vectơ trên K của các hàm thực điều chỉnh được xác định trên $I = \{0, 1\}$, liên tục bên phải tại mọi nơi và bằng không tại điểm 1 ; hãy chứng minh rằng trên E ánh xạ $x \mapsto \|x\| = \int_0^1 |x(t)|^{1/2} dt$ là một chuẩn. Hãy chứng minh rằng với mọi hàm $x \geq 0$ trong E, tồn tại trong E hai hàm $x_1 \geq 0$, $x_2 \geq 0$ sao cho $x = \frac{1}{2}(x_1 + x_2)$ và $\|x_1\| = \|x_2\| = \frac{1}{\sqrt{2}} \|x\|$. Suy ra rằng mọi dạng tuyến tính liên tục trên E đều đồng nhất bằng không.