Exercice 6, § 2

Soit K le corps topologique obtenu en transportant au corps $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$ la topologie usuelle de $\mathbf{Q}^2$ par l’application $(x, y) \mapsto x + y \sqrt{2}$. a) Soit E l’ensemble $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$ muni de sa structure d’espace vectoriel sur K et de la topologie induite par celle de $\mathbf{R}$. Montrer que E est un espace vectoriel topologique séparé, de dimension 1 sur K, mais non isomorphe à $K_s$. b) Soit F l’espace vectoriel topologique $E \times E$ sur K ; dans F, l’hyperplan $E \times \{0\}$ est fermé, mais il n’existe aucune équation de cet hyperplan de la forme $f(x) = 0$, où $f$ est une forme linéaire continue sur $E \times E$.