Bài tập 6, § 2

Cho K là vành chia tôpô thu được bằng cách chuyển tôpô thông thường của $\mathbf{Q}^2$ sang trường $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$ nhờ ánh xạ $(x, y) \mapsto x + y \sqrt{2}$. a) Cho E là tập hợp $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$ với cấu trúc không gian vectơ của nó trên K và với tôpô cảm sinh bởi tôpô của $\mathbf{R}$. Chứng minh rằng E là một không gian vectơ tôpô Hausdorff, có chiều 1 trên K, nhưng không đẳng cấu với $K_s$. b) Cho F là không gian vectơ tôpô $E \times E$ trên K; trong F, siêu phẳng $E \times \{0\}$ là đóng nhưng không tồn tại dạng tuyến tính liên tục $f$ trên $E \times E$ sao cho siêu phẳng này được cho bởi phương trình $f(x) = 0$.