Exercice 7, § 2

Soient K un corps valué non discret et non complet, E le sous-espace vectoriel topologique $K + Ka$ de $\hat{K}$, où $a \notin K$; soit F l’espace produit $K \times E$. Dans F, le sous-espace $M = K \times \{0\}$ est fermé et de codimension 2. Soit N le sous-espace supplémentaire de M dans F engendré par les vecteurs (0, 1) et (1, a) ; montrer que F n’est pas somme directe topologique de M et N.