Exercice 8, § 2

Soient p un nombre premier, $\mathbf{Q}_p$ le corps des nombres $p$-adiques (TG, III, p. 84, exerc. 23). Soit $E_0$ l’espace topologique produit $\mathbf{Q}_p \times \mathbf{R}$; si K désigne le corps $\mathbf{Q}$ muni de la topologie discrète, $E_0$ est un espace vectoriel topologique sur K. Soit M le sous-espace vectoriel de $E_0$ formé des éléments $(r, r)$, où $r$ parcourt $\mathbf{Q}$; soient d’autre part $\theta$ un nombre irrationnel, et N le sous-espace vectoriel formé des éléments $(0, r\theta)$, où $r$ parcourt $\mathbf{Q}$. Soit E le sous-espace $M + N$ de $E_0$; montrer que, dans E, N est un hyperplan fermé, mais qu’il n’existe aucun sous-espace supplémentaire topologique de N (on remarquera que M est partout dense dans $E_0$).