Bài tập 8, § 2

Cho $p$ là một số nguyên tố, $\mathbf{Q}_p$ là trường các số $p$-adic (GT, III, § 6, bài tập 23). Cho $E_0$ là không gian tích tôpô $\mathbf{Q}_p \times \mathbf{R}$; nếu K kí hiệu trường $\mathbf{Q}$ với tôpô rời rạc, thì $E_0$ là một không gian vectơ tôpô trên K. Cho M là không gian con vectơ tạo bởi các phần tử $(r, r)$ trong đó $r$ biến thiên trong $\mathbf{Q}$; ngoài ra cho $\theta$ là một số vô tỉ và N là không gian con vectơ tạo bởi các phần tử $(0, r\theta)$ trong đó $r$ biến thiên trong $\mathbf{Q}$. Cho E là không gian con $M + N$ của $E_0$; chứng minh rằng N là một siêu phẳng đóng trong E, nhưng không tồn tại một không gian con tôpô bù cho N (chú ý rằng M trù mật khắp nơi trong $E_0$).