Exercice 9, § 2

Soient X un espace topologique séparé, V un sous-espace vectoriel de l’espace $\mathscr{C}(X ; \mathbf{R})$, de dimension finie $n$. a) Montrer qu’il existe $n$ ensembles ouverts $U_i$ ($1 \leq i \leq n$) dans X, deux à deux disjoints, tels que toute fonction $f \in V$ qui s’annule identiquement dans chacun des $U_i$ est identiquement nulle dans X (utiliser A, II, p. 105, cor. 3). b) Soit $x_i \in U_i$ pour $1 \leq i \leq n$. Déduire de a) qu’il existe une constante $c > 0$ telle que, pour toute fonction $f \in V$, on ait