Bài tập 9, § 2

Cho X là một không gian tôpô Hausdorff, và cho V là một không gian con vectơ số chiều hữu hạn n của không gian $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$. a) Chứng minh rằng tồn tại n tập mở rời nhau từng cặp $U_i$ ($1 \leq i \leq n$) trong X, sao cho mọi hàm $f \in V$ đồng nhất bằng không trên mỗi $U_i$, đều đồng nhất bằng không trên X (sử dụng A, II, § 7.5, hệ quả 3). b) Cho $x_i \in U_i$ với $1 \leq i \leq n$. Suy ra từ a) rằng tồn tại một hằng số $c > 0$ sao cho, với mọi hàm $f \in V$, ta có