Exercice 1, § 3

a) Montrer que, si un espace vectoriel topologique séparé E sur un corps valué non discret K est tel que tout voisinage de 0 contienne un sous-espace vectoriel non réduit à 0, la topologie de E ne peut pas être définie par une norme. En particulier, un produit d’une suite infinie $(E_n)$ d’espaces vectoriels topologiques séparés sur K, non réduits à 0, a une topologie qui ne peut être définie par une norme. b) Considérons l’espace vectoriel produit $E = K_s^N$; pour tout $x = (\xi_n) \in E$, on pose

montrer que la topologie de E est définie par la distance $d(x, y) = |x - y|$, qu’on a $|\lambda x| \leq |\lambda||x|$ si $|\lambda| \leq 1$, $|\lambda x| \leq |\lambda|.|x|$ si $|\lambda| \geq 1$ et que, pour tout $x_0 \in E$, $|\lambda x_0|$ tend vers 0 avec $|\lambda|$.