Bài tập 1, § 3

$a$) Chứng minh rằng, nếu một không gian vectơ tôpô Hausdorff E trên một trường chia có định giá K không rời rạc sao cho mọi lân cận của 0 đều chứa một không gian con vectơ không phải là điểm duy nhất 0, thì tôpô của E không thể được xác định bởi một chuẩn. Đặc biệt, tích của một dãy vô hạn $(E_n)$ các không gian vectơ tôpô Hausdorff trên K, không có không gian nào gồm điểm duy nhất 0, có một tôpô không thể được xác định bởi một chuẩn. b) Xét không gian vectơ tích $E = K_s^\mathbf{N}$; với mọi $x = (\xi_n) \in E$, đặt

Chứng minh rằng tôpô của E được xác định bởi khoảng cách $d(x, y) = |x - y|$, rằng $|\lambda x| \leq |x|$ nếu $|\lambda| \leq 1$, $|\lambda x| \leq |\lambda|.|x|$ nếu $|\lambda| \geq 1$ và rằng, với mọi $x_0 \in E$, $|\lambda x_0|$ tiến tới 0 cùng với $|\lambda|$.