Exercice 1, § 2

Dans un espace vectoriel E, on dit qu’un ensemble A est étoilé par rapport à 0 si, pour tout $x \in A$ et tout nombre $\lambda$ tel que $0 \leq \lambda < 1$, $\lambda x$ appartient à A. Soit A un ensemble étoilé tel que, pour tout $x \in A$, il existe $\mu > 1$ tel que $\mu x \in A$. Montrer que si, pour tout couple $(x, y)$ de points de A, on a $\frac{1}{2}(x + y) \in A$, alors A est convexe. Donner un exemple d’ensemble étoilé non convexe A tel que $\frac{1}{2}(A + A) \subset A$.