Exercice 10, § 2

Soient A une partie de $\mathbf{R}^n$, C son enveloppe convexe, a un point intérieur à C. Montrer qu’il existe $2n$ points $x_i \in A$ ($1 \leqslant i \leqslant 2n$) tels que, si $C_0$ est l’enveloppe convexe de l’ensemble des $x_i$, a soit intérieur à $C_0$. (Se ramener au cas où $a = 0$. Raisonner par récurrence sur $n$, en notant qu’il existe, en vertu de l’exerc. 9, a), un ensemble de $k + 1$ points $y_j$ de A ($0 \leqslant j \leqslant k, 1 \leqslant k \leqslant n$) affinement indépendants, tels que, si V est la variété linéaire affine engendrée par les $y_j$, on ait $0 \in V$ et que 0 soit intérieur, par rapport à V, à l’enveloppe convexe de l’ensemble des $y_j$. Projeter alors C sur E/V et montrer que 0 est intérieur à cette projection par rapport à E/V.) Montrer que dans cet énoncé on ne peut remplacer $2n$ par $2n - 1$.