Exercice 14, § 2

Soient $E$ un espace vectoriel topologique séparé, $A$ un ensemble convexe fermé non vide dans $E$. a) Montrer que, pour tout $a \in A$, l’ensemble $\bigcap_{\lambda > 0} \lambda(A - a)$ est un cône convexe fermé $C_A$ dans $E$, de sommet 0, indépendant de $a$, dit cône asymptote de $A$. Pour tout $a \in A$, l’ensemble $a + C_A$ est la réunion de $\{a\}$ et des demi-droites ouvertes d’origine $a$ contenues dans $A$. b) Si $x, y$ sont deux points de $A$ tels que $(x + C_A) \cap (y + C_A)$ soit un cône de sommet $z \in A$, ce cône est nécessairement égal à $z + C_A$. c) Si $B$ est un second ensemble convexe fermé dans $E$ tel que $A \cap B \neq \varnothing$, on a

d) Soit $V_A$ le plus grand sous-espace vectoriel (nécessairement fermé dans $E$) contenu dans $C_A$. Montrer que si $\varphi$ est l’homomorphisme canonique de $E$ sur $E/V_A$, on a $A = \varphi^{-1}(A_0)$, où $A_0$ est un ensemble convexe fermé dans $E/V_A$, ne contenant aucune droite. e) Dans l’espace de Banach $\mathscr{B}(\mathbf{N})$ des applications bornées de $\mathbf{N}$ dans $\mathbf{R}$ (I, p. 4), donner un exemple d’ensemble convexe fermé non borné $A$ tel que $C_A = \{0\}$ et que, pour tout $b \neq 0$ dans $E$, il existe un entier $k$ tel que $(A + kb) \cap A = \varnothing$. f) Supposons que $0 \in A$, et soit $S$ le cône convexe de sommet 0 engendré par $A$. Montrer que l’on a $\overline{S} = S \cup C_A$.