Bài tập 14, § 2

Cho A là một tập con lồi đóng không rỗng của E, một không gian vectơ tôpô Hausdorff. a) Chứng minh rằng, với mọi $a \in A$, tập hợp $\bigcap_{\lambda > 0} \lambda(A - a)$ là một nón lồi đóng trong E, có đỉnh 0, độc lập với $a$. Nó được gọi là nón tiệm cận của A và được ký hiệu là $C_A$. Với mọi $a \in A$, tập hợp $a + C_A$ là hợp của $\{a\}$ và các nửa đường thẳng mở được chứa trong A và có $a$ làm đầu mút. b) Nếu $x, y$ là hai điểm của A sao cho $(x + C_A) \cap (y + C_A)$ là một nón có đỉnh $z \in A$, thì nón này nhất thiết là $z + C_A$. c) Nếu B là một tập con lồi đóng thứ hai của E sao cho $A \cap B \neq \varnothing$, thì $C_{A \cap B} = C_A \cap C_B$. d) Gọi $V_A$ là không gian vectơ con lớn nhất (nhất thiết đóng trong E) được chứa trong $C_A$. Chứng minh rằng nếu $\phi$ là đồng cấu chính tắc của E trên $E/V_A$, thì $A = \phi^{-1}(A_0)$, trong đó $A_0$ là một tập lồi đóng trong $E/V_A$ không chứa bất kỳ đường thẳng nào. e) Trong không gian Banach $\mathscr{B}(\mathbf{N})$ của các ánh xạ bị chặn từ $\mathbf{N}$ vào $\mathbf{R}$ (I, p. 4), hãy cho một ví dụ về một tập A lồi đóng không bị chặn, sao cho $C_A = \{0\}$ và sao cho với mọi $b \neq 0$ trong E, tồn tại một số nguyên $k$ sao cho $(A + kb) \cap A = \varnothing$.